دنیای جذاب و پرکاربرد بیومکانیک

دینامیک معکوس در بیومکانیک (بخش ۴) مشتق‌گیری‌ها و محاسبات سرعت و شتاب

به دنیای جذاب بیومکانیک خوش آمدید. همانطور که در شماره‌های پیشین گفته شد، بحث دینامیک معکوس در تحلیل بیومکانیک حرکت بسیار پرکاربرد است. مراحل گذشته در روند دینامیک معکوس که شامل بررسی ابزارهای سنجش و اندازه‌گیری پارامترهای سینماتیکی (موقعیت، زاویه، سرعت، شتاب و…) و سینماتیک معکوس (محاسبات زوایا از روی موقعیت‌های اعضا و مفاصل) بود مورد بررسی قرار گرفت.

در این قسمت مطابق شکل ۱، به مرحله بعدی که نحوه مشتق‌گیری‌ها از روی زوایای اعضا و مفاصل و پردازش سیگنال‌های مربوطه هستند می‌پردازیم.

در واقع پس از اینکه موقعیت‌های خطی و زاویه‌ای هر یک از اعضا یا مفاصل یا مراکز جرم اعضای بدن اندازه‌گیری و محاسبه شدند، نوبت به محاسبات سرعت‌ها و شتاب‌های زاویه‌ای می‌رسد. پیش از شروع اصل مبحث، ابتدا باید گفت که مفهوم مشتق‌گیری برابر با شیب خط مماس بر منحنی نمودار است. از آنجا که پارامترهای آنالیز حرکت متغیرهایی بر حسب زمان هستند، مشتق گیری نیز نسبت به زمان صورت می‌پذیرد که به نرخ یا آهنگ نیز معروف است. سرعت، مشتق موقعیت یا جابه‌جایی نسبت به زمان یا به عبارتی دیگر شیب خط مماس بر نمودار موقعیت-زمان در هر لحظه است (شکل 2).

حال به تحلیل این موضوع می‌پردازیم که شیب یک منحنی موقعیت-زمان در واقع حاصل تقسیم اختلاف موقعیت‌ها بر اختلاف زمانی ‌است که سرعت را به ما می‌دهد. اما باید به این نکته توجه داشت که داده‌های مربوط به آنالیز حرکت که حاصل از ضبط ویدئویی و مسیریابی مارکرها بر روی اعضا و مفاصل است به صورت گسسته و با یک فرکانس نمونه‌برداری یا نرخ فریم (Frame Rate) مشخص ثبت شده ‌است. به طور کلی اگر گام یا استپ زمانی (Δt (Step Time بین لحظات مختلف داده‌ها در مارکرها باشد، معکوس آن خواهد بود (Δt/1). به عنوان مثال گام زمانی 0.01 ثانیه، فرکانس نمونه برداری 100 هرتز را به همراه دارد. در حالت کلی که داده‌های مارکر گسسته هستند، اختلاف موقعیت X بین دو فریم متوالی (Xi+1-Xi) تقسیم بر اختلاف زمانی بین دو فریم متوالی (Δt) قاعدتاً سرعت بین دو فریم را باید به ما ارائه دهد که این روش تا حدی به مشتق گیری عددی نزدیک است (شکل 3).

منتهی اگر در شکل 3 به شیب خط رسم شده بین دو مارکر متوالی توجه کنید، متوجه می‌شوید که به طور کامل بر منحنی مماس نیست و اینکه حتی سرعت در یک لحظه یا فریم مشخص محاسبه نشده است (بین دو فریم متوالی i و i+1 محاسبه شده ‌است). لذا به جهت بهبود این مسئله، مطابق شکل 4 سرعت در لحظه i ام از روی موقعیت دو فریم قبل (Xi-1) و بعد خود (Xi+1) محاسبه می‌شود که اختلاف زمانی بین آن‌ها 2Δt است. اینگونه محاسبه سرعت دو مزیت خود را به دست می‌آورد که هم دقیقاً در لحظه i ام محاسبه می‌شود و هم به شیب خط مماس بر منحنی در لحظه i ام نزدیک‌تر است.

به طور مشابه، این مسئله را برای شتاب لحظه‌ای مارکر نیز می‌توان بررسی کرد. به این صورت که مطابق شکل 5 شتاب لحظه i ام نیز از روی سرعت دو لحظه قبل (Vi-1) و بعد خود (Vi+1) محاسبه شود که اختلاف زمانی بین این دو نیز برابر 2Δt است. در عین حال هر یک از سرعت‌های مذکور در دو لحظه قبلی و بعدی، از روی موقعیت‌های لحظات مربوط به قبل و بعد از خودشان مطابق شکل 5 محاسبه می‌شوند.

منتهی اگر به روابط موجود در شکل 5 توجه کنید، درمی‌یابید که شتاب لحظه i ام با کمک موقعیت‌های دو لحظه قبل (Xi-2) و دو لحظه بعد (Xi+2) از خود محاسبه می‌شود و این موضوع به ویژه در شتاب‌های لحظات ابتدایی و انتهایی حرکت مشکل ساز می‌شود. لذا برای برطرف کردن این موضوع، سرعت‌ها در لحظات نیمه
(i+1/2 و i-1/2) در نظر گرفته می‌شوند و با ساده سازی روابط مطابق شکل 6، شتاب لحظه i ام نیز از روی موقعیت‌های دو لحظه پیش (Xi-1) و بعد (Xi+1) از خود قابل محاسبه است و برابر است با موقعیت لحظه بعد منهای دوبرابر موقعیت فعلی، به علاوه موقعیت لحظه قبل، در مجموع تقسیم بر مجذور گام زمانی.

در کل به روش‌های مذکور می‌توان سرعت‌ها و شتاب‌های لحظه‌ای را برای موقعیت‌های اعضا و مفاصل محاسبه کرد، منتهی در ابتدایی‌ترین و انتهایی‌ترین لحظه حرکت (چون فریم‌های قبلی و بعدی لحظه وجود ندارند) باید یا صرفنظر کرد یا از روش قدیمی اختلاف موقعیت‌ها بر اختلاف زمانی استفاده کرد. برای محاسبات مربوط به سرعت و شتاب مرکز جرم اعضای بدن نیز از روش مذکور به جهت مشتق‌گیری عددی استفاده می‌شود تا در آینده با کمک معادلات تعادل نیوتنی، نیروهای برآیند مفصلی محاسبه شوند.
به طور مشابه برای محاسبه سرعت و شتاب زاویه‌ای در اعضا و مفاصل بدن نیز از همین روش مشتق‌گیری عددی مطابق شکل 7 استفاده می‌شود. اگر از مرحله سینماتیک معکوس به خاطر داشته باشید، زوایای اعضا به صورت مطلق و زوایای مفاصل به طور نسبی (بین اعضا) محاسبه می‌شدند، لذا مشتق هر یک به طور مجزا باید جهت بررسی سرعت‌ها و شتاب‌ها زاویه‌ای اعمال شود. به این ترتیب با داشتن سرعت‌ها و شتاب‌های زاویه‌ای، در آینده برای محاسبات گشتاورهای برآیند مفصلی با کمک معادلات اویلر می‌توان اقدام کرد.

در انتها نکته بسیار بسیار مهم بحث، پردازش سیگنال‌های سینماتیکی مربوط به پارامترهای مذکور است. زیرا به دلیل محدودیت‌های آزمایشگاهی در آنالیز حرکت و فریم بندی زمانی مشخص داده‌ها، احتمال وجود خطا و نویز در داده‌های موقعیت حاصل از مارکرها بالاست و باید پیش از محاسبات مشتق‌گیری آن را برطرف کرد. به این منظور از برخی فیلترهای حوزه زمان مانند میانگین گرفتن
(Average) یا اسموث کردن (Smoothing) یا فیلترهای حوزه فرکانس مانند باترورث (Butterworth) با مرتبه‌های مختلف (بسته به نیاز و نوع سیگنال مثل مرتبه 4 یا 6) می‌توان استفاده کرد.
نکته مهم اینست که اگر فیلتر کردن و حذف نویز به طور مناسب انجام نشود با مشتق گیری از سیگنال نویز دار همچون موقعیت یا جابه‌جایی مفاصل، نویز نیز افزایش می‌یابد. به طور مثال اگر موقعیت یا زاویه مفصل نویز کمی داشته باشد، سیگنال سرعت نویز بیشتر و سیگنال شتاب نویز بسیار بیشتری پیدا خواهد کرد. شکل 8 نمونه‌هایی از سیگنال‌ها سینماتیکی (جابه‌جایی، سرعت، شتاب خطی و زاویه‌ای) اعضای بدن را با و بدون نویز نشان می‌دهد. اگر به سیگنال‌های شکل 8 دقت شود، در مواردی که پردازش نشده است، نویز سیگنال‌های شتاب به طور قابل ملاحظه‌ای از سیگنال‌های سرعت بیشتر مشاهده می‌شود؛ پس همواره پیش از شروع محاسبات مربوط به داده‌های آنالیز حرکت، باید به انتخاب نوع فیلتر (با توجه به نوع و فرکانس سیگنال داده‌های مارکر) دقت لازم و کافی داشت.

این مقاله نیز به مبحث مشتق‌گیری‌ها و محاسبات سرعت و شتاب پرداخت و به امید خدا در مقالات آتی، ادامه مراحل دینامیک معکوس (مانند محاسبات نیروها و گشتاورهای برآیند مفصلی و …) در بیومکانیک حرکت شرح داده خواهد شد.
به دوستانی که در حوزه‌های مرتبط با بیومکانیک فعالیت می‌کنند توصیه می‌شود منابع زیر را که از جمله منابع اساسی و بنیادین بیومکانیک هستند مطالعه کنند.

منابع:

• Biomechanics and motor control of human movement, David A. Winter.
• Fundamentals of biomechanics, Equilibrium, Motion, and Deformation, Nihat Ozkaya, Dawn Leger, David
  Goldsheyder, Margareta Nordin.
• Kinesiology of the musculoskeletal system, Foundations for Rehabilitation, Donald A. Neumann.
• Biomechanical basis of human movement, Josef Hamill, Kathleen M. Knutzen, Timothy R. Derrick.
• Basic Biomechanics, Susan J. Hall.