دنیای جذاب بیومکانیک مفاصل – ستون فقرات (بخش سوم)

به دنیای جذاب بیومکانیک خوش آمدید. مقاله پیش رو هفتمین مقاله از مجموعه مقالات بیومکانیک مفاصل و سومین بخش از مبحث بیومکانیک ستون فقرات است. امیدواریم آنچه در ادامه می‌خوانید مورد توجه قرار گرفته و مفید واقع شود.

در مقاله گذشته بحث تحلیل اسکلتی عضلانی ستون فقرات کمری با مدل تک عضله‌ای بررسی شد که مطابق شکل 1، در آن یک گروه عضله اکستنسور ستون فقرات (ارکتور اسپاین) با گشتاور فلکسور وزن بالاتنه و وزنه دست (به جهت حفظ تعادل گشتاوری) مقابله می‌کردند و فعال می‌شدند. مشکل این نوع مدلسازی، در نظر نگرفتن دیگر عضلات مهم ستون فقرات و شکمی بود که تحلیل را ساده‌تر کند، منتهی خطای محاسبات نیروی عضله و دیسک کمر و همچنین فشار روی دیسکی را افزایش می‌داد.

شکل ۱ – مدلسازی تک عضله‌ای در ستون فقرات با لحاظ یک گروه عضلات مهم ارکتوراسپاین که با اعمال گشتاور اکستنسوری حول ستون فقرات، با گشتاور فلکسوری وزن بالاتنه یا وزنه خارجی مقابله می‌کنند.

لذا به جهت افزایش دقت محاسبات، به سراغ مدلسازی چند عضله‌ای در ستون فقرات می‌رویم. از آنجا که اغلب در اینگونه مدل‌ها تعداد مجهولات (نیروهای عضلانی و مفصلی) از تعداد معادلات (تعادل نیروها و گشتاورها) بیشتر است، باید از طریقی دیگر به تعداد معادلات اضافه کنیم. به‌عنوان نمونه در شکل 2، سه گروه عضلات سرتاسری کمری، موضعی کمری و شکمی را در بررسی مدل اسکلتی عضلانی ستون فقرات داریم. نیروهای وزن بالاتنه و وزن دست جزو نیروهای خارجی مدل هستند و نیروهای فشاری و برشی و گشتاور خمشی پسیو دیسک کمر نیز نیروهای داخلی مدل محسوب می‌شوند.

شکل ۲ – مدلسازی چند عضله‌ای در ستون فقرات با لحاظ گروه‌های مهم عضلات تأثیرگذار از قبیل عضلات گلوبال (سرتاسری) و لوکال (موضعی) ستون فقرات به‌همراه عضلات شکمی (به نیروها و گشتاور دیسک کمر توجه کنید.)

یکی از روش‌های تحلیل مدل‌های چند عضله‌ای، استفاده از روش بهینه‌سازی (Optimization) در نیروهای عضلانی است که یک روش کاملاً ریاضی و محاسباتی است. در این روش یک تابع هزینه (Cost Function) برای نیروهای عضلات لحاظ می‌شود. به‌عنوان نمونه فرض می‌شود مجموع مجذور یا مکعب نیروهای عضلانی کمینه یا مینیمم (Minimum) شود. سپس در ادامه با تعریف ضریب و تابع لاگرانژ و مشتق‌گیری‌ها به تعداد معادلات اضافه می‌شود. اجازه دهید که این روش را با حل یک مثال در همان مدل سه‌عضله ای انجام دهیم. شکل 3، پارامترهای مورد نظر مثال را نشان می‌دهد.

شکل ۳ – مدلسازی چند‌عضله‌ای در ستون فقرات با لحاظ گروه‌های مهم عضلات تأثیرگذار از قبیل عضلات گلوبال (سرتاسری) و لوکال (موضعی) ستون فقرات به‌همراه عضلات شکمی (به نیروها و گشتاور دیسک کمر توجه کنید.)

به‌طور مثال در شکل 3، داده‌های ورودی اعم از نیروهای خارجی، فاصله گشتاورها و… به صورت زیر هستند:

d1=6cm.d2=4cm.d3=12cm.θ=45°.dw=15cm.Fw=500N.
dext=20cm.Fext=200N.Mp=40Nm

ابتدا طبق معمول، معادله تعادل گشتاوری را حول دیسک L5-S1 کمر می‌نویسیم. از آنجا که فواصل بر حسب سانتیمتر ارائه شده‌اند، برای سهولت محاسبات گشتاور پسیو دیسک کمر را نیز بر حسب نیوتن سانتی‌متر (4000 Ncm) می‌نویسیم. داریم:

∑ML5-S1=0(ccw+)→d1F1+d2F2-d3F3-dwFw-dextFext+Mp=0→6F1+4F2-12F3-15500-20200+4000=0→

معادله تعادل نهایی پس از ساده‌سازی:

CE=6F1+4F2-12F3-7500=0

بعد از دستیابی به معادله تعادل (CE) که در واقع یک معادله و سه مجهول (نیروهای سه عضله) هست، حال فرض می‌کنیم که در روش بهینه‌سازی، مجموع مجذور نیروهای عضلانی باید حداقل (مینیمم) شود. لذا تابع هزینه یا تابع هدف ما (OF=Objective Function) به صورت ذیل تعریف می‌شود:

OF=F12+F22+F32

در این زمان تابع لاگرانژ L را به صورت ذیل تشکیل می‌دهیم که در آن λ ضریب لاگرانژ است:
L=OF-λ*CE=F12+F22+F32-λ(6F1+4F2-12F3-7500)
حال از تابع لاگرانژ نسبت به هر سه نیروی عضلانی مشتق می‌گیریم و برابر صفر قرار می‌دهیم تا بر این اساس به تعداد معادلات اضافه شود و مینیمم تابع لاگرانژ حاصل شود. داریم:
دقت کنید که نیروی عضله باید مثبت باشد:

∂L/∂F1=0→2F1-6λ=0→F1=3λ>0→λ>0
∂L/∂F2 =0→2F2-4λ=0→F2=2λ>0→λ>0

در تناقض با دو معادله قبل:

∂L/∂F3=0→2F3+12λ=0→F3=-6λ>0→λ<0

طبق معادلات فوق، از آنجا که نیروی عضله همواره مثبت است (چون نیروی عضله همیشه کششی است)، لذا از معادلات مربوط به دو عضله کمری (F1 , F2) نتیجه می‌شود که مقدار ضریب لاگرانژλ مثبت است. منتهی از معادله مربوط به عضله شکمی (F3) نتیجه می‌شود که λ منفی است و به تناقض می‌رسیم. برای اینکه این تناقض برطرف شود، به ناچار باید نیروی عضله شکمی صفر شود. لذا: F3=0
در واقع عضلات کمری که گشتاور اکستنسور اعمال می‌کنند و با گشتاور فلکسور وزن بالاتنه و وزنه دست مقابله می‌کنند در اینجا آگونیست هستند، ولی عضله شکمی که گشتاور فلکسور (همجهت با وزنه‌ها) اعمال می‌کند آنتاگونیست است. این نوع روش بهینه‌سازی نیروی عضله آنتاگونیست را صفر می‌کند.
در ادامه باید نیروهای عضلانی را که بر حسب λ به‌دست آمده‌اند در معادله تعادل حاصل از گشتاورها (CE) جایگذاری کنیم. داریم:

F1=3λ.F2=2λ.F3=0 CE جایگذاری در CE=6(3λ)+4(2λ)-7500= 0→λ=288.46

ناگفته نماند با توجه به روابط به‌دست آمده، در این حالت واحد با واحد نیرو (نیوتن) یکسان است. حال با کمک دو نیروی عضلات کمری نیز قابل محاسبه هستند.

F1=3λ=865.38 N F2=2λ=576.92 N F3=0

نیروهای عضلانی که محاسبه شدند، با کمک آن‌ها می‌توان نیروهای فشاری و برشی دیسک کمر و در انتها فشار درون دیسکی را محاسبه کرد. تعادل‌های نیرویی را در دو راستای فشاری و برشی بر دیسک L5-S1 می‌نویسیم (به جهت نیروها در شکل 3 دقت کنید، عضلات همراستا با محور فشاری فرض شده‌اند):

∑Fcompressive(↗+)=0→Fc-(F1+F2+F3 )-(Fw+Fext )sinθ=0
→Fc=1937.27 N
∑Fshear (↖+)=0⇒Fs-(Fw+Fext) cosθ=0⇒Fs=494.97 N

از روی نیروی فشاری به‌دست آمده، فشار درون دیسکی نیز قابل محاسبه است. با فرض سطح مقطع دیسک برابر 938 میلی‌متر مربع و ضریب تصحیح 0.65 برای مساحت هسته مرکزی دیسک، فشار درون دیسکی (IDP) به صورت ذیل محاسبه می‌شود (واحد نیوتن بر میلیمتر مربع برابر همان مگاپاسکال است):

A=938mm2,Ccorr=0.65→IDP=Fc/Ccorr A)=3.18 MPa

برای بررسی بیشتر، مثال مذکور را با هدف مینیمم کردن مجموع مکعب نیروی عضلات تکرار می‌کنیم. داریم:

CE=6F1+4F2-12F3-7500=0.OF=F13+F23+F33
→L=OF-λCE=F13+F23+F33-λ(6F1+4F2-12F3-7500)

نیروی عضله باید مثبت باشد:

∂L/∂F1=0→3F12-6λ=0→F1=√2λ>0→λ>0
∂L/∂F2=0→3F22-4λ=0→F2=√(4/3 λ)>0→λ>0

در تناقض با دو معادله قبل:

∂L/∂F3 =0→3F32+12λ=0→F3=√(-4λ)>0→λ<0

در این حالت نیز در مورد نیروی عضله شکمی (آنتاگونیست) مشابه قبل به تناقض می‌رسیم و برای رفع تناقض نیروی این عضله صفر لحاظ می‌شود. در ادامه داریم:

F1=√2λ.F2=√(4/3λ),F3=0 CE جایگذاری در CE=6√2λ+4√(4/3 λ)-7500 =0→

λ=327573.85→F1=809.41N F2=660.88N,F3=0

با محاسبات مشابه برای نیروهای فشاری و برشی دیسک کمر و فشار درون دیسکی، به نتایج ذیل می‌رسیم:

→Fc=1965.27N Fs=494.27N IDP=3.22 MPa

و اما از همه مهمتر اینکه تحلیل و تفسیر نتایج به‌دست آمده از روش بهینه‌سازی، نکاتی به‌همراه خود دارد که در ذیل به برخی از آن‌ها اشاره می‌کنم:
– روش بهینه‌سازی الگوریتمی بر مبنای محاسبات ریاضی است و پایه و مبنای بیولوژیک ندارد. یعنی از فردی به فرد دیگر با همان شرایط بارگذاری و آنتروپومتریک، تفاوت قائل نمی‌شود.
– روش بهینه‌سازی به دلیل مینیمم کردن مقادیری بر حسب مجموع نیروهای عضلانی، عضلات آنتاگونیست را که گشتاور خلاف جهت عضلات آگونیست اعمال می‌کنند حذف می‌کند و نیروی صفر به آن‌ها می‌دهد. در مثال مذکور عضلات شکمی آنتاگونیست بودند و نیروی صفر برایشان لحاظ شد، حال آنکه در واقعیت ممکن است فعالیت آن‌ها صفر نباشد.
– در تابع هزینه مربوط به روش بهینه‌سازی، هر چه توان بیشتر می‌شود، توزیع نیروی بین عضلات نزدیکتر و یکنواخت‌تر می‌شود تا به نحوی تمرکز نیرو را از روی یک گروه عضلات خاص بردارد. مقایسه نتایج بین مینیمم کردن مجموع مجذور و مجموع مکعب نیروی عضلات این موضوع را نشان می‌دهد.
– از آنجا که فرض کردیم نیروهای عضلات کمری و شکمی، همراستای با نیروی فشاری وارد بر دیسک L5-S1 هستند، با تغییر تابع هدف، نیروی فشاری و فشار درون دیسکی تغییر کرده‌اند ولی نیروی برشی دیسک ثابت مانده ‌است. در حالیکه در واقعیت همه عضلات همراستا با فشار در دیسک نیستند.

حال که متوجه شدیم ایراد‌های روش بهینه‌سازی چیست به سراغ روش بعدی می‌رویم که تا حدی سعی کرده ‌است آن ایراد‌ها را برطرف کند. این روش بر اساس سیگنال الکترومایوگرافی (EMG) عضلات عمل می‌کند که روش مبتنی بر ای‌ام جی (EMG-based) نام دارد. در این روش با فعال شدن عضله در آن سیگنال ناشی از پتانسیل عمل ایجاد می‌شود و یک رابطه بین نیرو و ولتاژ سیگنال عضله برقرار می‌شود. منتهی پیش از بررسی ارتباط بین نیرو و ولتاژ عضله، باید سیگنال حاصل از فعالیت عضله پردازش شود. یکی از اهداف پردازش سیگنال عضله، دستیابی به اطلاعات مفید سیگنال و حذف اطلاعات زائد و نویزها به منظور بررسی‌های بیومکانیکی و بالینی عضله است. در بررسی بیومکانیکی، عضله دو بخش فعال (Active) و غیرفعال (Passive) دارد که سیگنال عضله مربوط به بخش فعال آن و تولید نیروی عضله است. بخش غیر فعال عضله مربوط به خاصیت کشسانی و تحمل نیروی کششی آن است که به بافت‌های غیر فعال آن مانند تاندون و فاشیا مربوط می‌شود. لذا قرار است که از پردازش سیگنال EMG عضله به نیروی فعال آن دست یابیم. به‌طور معمول در پردازش سیگنال عضله، ابتدا ولتاژ سیگنال خام عضله که نوسانات و فرکانس بالایی دارد پس از استخراج، از نظر صفر سیگنال تنظیم می‌شود. با کمک تبدیل فوریه و فیلترهای حوزه فرکانس (مانند فیلتر ناچ Notch) فرکانس حاصل از نویز برق شهر (که روی سیگنال بطور ثابت سوار است) حذف می‌شود. در ادامه قدر مطلق سیگنال گرفته می‌شود (یکسو می‌شود) تا اندازه دامنه آن (صرف نظر از علامت مثبت یا منفی) بررسی شود. سپس نوسانات یا اعوجاجات بسیار بالای سیگنال با کمک فیلترهای مختلف پایین گذر (مانند میانگین گیری) حذف می‌شود و سیگنالی نسبتاً روان با اطلاعات مفید آن به‌دست می‌آید. به‌طور معمول از روش مجذور مجموع مربعات سیگنال (Root Mean Square) یا RMS به منظور فیلتر پایین گذر و دستیابی به اطلاعات مفید سیگنال استفاده می‌شود. باید دقت شود که از ناحیه بالک عضله بهترین کیفیت سیگنال با بالاترین دامنه ممکن استخراج شود. گاهی اوقات نیز برای بررسی‌های متفاوت دیگر سیگنال را دیجیتال (صفر و یکی) می‌کنند که صرفاً فعال یا غیرفعال بودن عضله را بررسی کنند. شکل 4 نمونه سیگنال‌های عضله را با خلاصه‌ای از مراحل پردازش سیگنال نشان می‌دهد.

شکل 4 – نمونه ولتاژ سیگنال قسمت‌های مختلف دوک عضلانی بهمراه نمایش مراحل مختلف پردازش سیگنال عضله (یکسوسازی سیگنال خام، فیلتر پایین گذر، دیجیتال سازی یا صفر و یک کردن، انتگرال گیری)

حال به سراغ ارتباط بین نیرو و ولتاژ سیگنال عضله می‌رویم. در عضلات ستون فقرات برای فعالیت ایستا (استاتیک) بررسی شده ‌است که تا حدی بین ولتاژ و نیروی عضله رابطه خطی وجود دارد. منتهی در فعالیت‌های دینامیکی پیچیده‌تر این رابطه به صورت غیرخطی و معادله دیفرانسیل در می‌آید که فراتر از بحث این مقاله است. در حالت ساده که رابطه بین ولتاژ سیگنال عضله با نیروی آن خطی فرض می‌شود، حاصل تقسیم نیرو بر نیروی ماکزیمم عضله با حاصل تقسیم ولتاژ سیگنال به حداکثر ولتاژ سیگنال عضله متناسب است. به حداکثر ولتاژی که عضله می‌تواند به طور ارادی تولید کند (حداکثر فعالیت) ماکزیمم انقباض ارادی (Maximum Voluntary Contraction) یا به اختصار ام وی سی (MVC) گفته می‌شود. به‌عنوان نمونه در شکل 5 می‌توانید مشاهده کنید که برای گرفتن تست MVC عضلات کمری، بالاتنه شخص به‌گونه‌ای از لبه تخت آویزان می‌شود تا عضلات کمری در معرض فعالیت شدید قرار گیرند (زیرا عضلات اکستنسور ستون فقرات در این حالت به شدت فعال می‌شوند که با گشتاور فلکسور وزن بالاتنه تنه که بازوی گشتاور بالایی دارد، مقابله کنند). در این فعالیت شدید حداکثر دامنه سیگنال خود را تولید می‌کند.

شکل 5 – نمونه تست طراحی شده برای دستیابی به ماکزیمم انقباض ارادی (MVC) عضلات کمری

با داشتن ولتاژهای EMG و MVC عضله، رابطه تناسب آن‌ها با نیرو (F) و ماکزیمم نیرو (Fmax) در عضله برقرار است که در حالت ساده خطی است. داریم:

F/Fmax =α VEMG/VMVC =α n(EMG)

در رابطه فوق ضریب تناسب α به پارامترهای مربوط به فیبر عضلانی بخصوص درصد فعالسازی فیبرهای عضله وابسته است که عددی بین صفر و یک است. برای سهولت نمایش، حاصل تقسیم ولتاژ EMG به MVC عضله را به صورت الکترومایوگرافی نرمالیزه شده با پارامتر (n(EMG در رابطه فوق نشان دادیم. در ادامه رابطه نیروی ماکزیمم عضله بازتر می‌شود و در انتها برای نیروی فعال عضله حاصل از الکترومایوگرافی داریم:

Fmax=σmax PCSA→F=α n(EMG) σmax PCSA

در رابطه فوق σmax تنش ماکزیمم عضله است که از مطالعات مختلف به‌طور تقریبی بین 0.1 تا 1 مگاپاسکال لحاظ شده ‌است. PCSA نیز سطح مقطع فیزیولوژیک عضله است که با کمک تصاویر پزشکی (به‌ویژه MRI) یا از روی عضلات اجساد قابل اندازه‌گیری است. حال با دانستن رابطه بین ولتاژ و نیروی عضله، مثال مذکور را با داشتن EMG عضلات بررسی می‌کنیم. فرض کنید در مثال مربوط به شکل 3، روی سه گروه عضله F1، F2 و F3 ثبت سیگنال EMG رخ داده و مقدایر مربوط به ولتاژ ای ‌ام جی نرمالیزه شده ((n(EMG) در آن‌ها به ترتیب 75%، 60% و 15% است. اگر سطح مقطع فیزیولوژیک آن‌ها به‌ترتیب 19، 22 و 6 سانتیمتر مربع باشد، با فرض تنش ماکزیمم 0.6 مگاپاسکال برای همه عضلات مطابق ذیل نیروهای عضلانی را حساب می‌کنیم (تنش بر حسب مگاپاسکال هست، لذا سطح مقطع را بر حسب میلیمتر مربع می‌نویسیم که نیرو بر حسب نیوتن به دست بیاید):

F1=α n(EMG)1 σmax PCSA1=α0.750.61900=855α
F2=α n(EMG)1 σmax PCSA1=α0.600.62200=792α
F1=α n(EMG)1 σmax PCSA1=α0.150.6600=54α

همانطور که در روابط فوق دیده می‌شود، ضریب که به‌طور عمده مربوط به میزان فعالسازی عضلات است، جهت سهولت در هر سه عضله یکسان فرض شده‌ است و مجهول است. جهت محاسبه آن باید نیروهای را در معادله تعادل گشتاوری که از قبل داشتیم جایگذاری کنیم، داریم:

CE=6855α+4792α-12*54α=7500→α=0.98
→F1=838.24N F2=776.47N F3=52.94N

از نیروهای حاصل شده متوجه می‌شویم که در روش الکترومایوگرافی (بر خلاف بهینه‌سازی)، عضلات آنتاگونیست شکمی نیز دارای فعالیت و نیرو هستند (با اینکه گشتاور خلاف جهت مطلوب اعمال می‌کنند)، این امر به واقعیت نیز نزدیکتر است. ضمن اینکه فعالیت همزمان عضلات آنتاگونیست به‌همراه آگونیست موجب افزایش پایداری مفصل (که در اینجا دیسک کمر است) می‌شود. به‌طور مشابه از معادلات تعادل نیرویی و تنش فشاری، مقادیر مربوط به نیروهای فشاری و برشی دیسک کمر و فشار درون دیسکی مطابق ذیل به‌دست می‌آیند:

Fc=2162.62N Fs=494.97N IDP=3.55MPa

حال به تحلیل و تفسیر برخی نکات مهم از نتایج روش الکترومایوگرافی می‌پردازیم:
– همانطور که مشاهده می‌شود به دلیل اینکه در روش الکترومایوگرافی، عضلات آنتاگونیست شکمی همزمان با عضلات آگونیست کمری فعال بوده‌اند، نیروی فشار و فشار درون دیسکی نسبت به حالت قبل (بهینه‌سازی) افزایش داشته ‌است. منتهی به همان دلیل همراستا فرض شدن نیروی عضلات با نیروی فشاری، میزان نیروی برشی دیسک تغییری نکرده ‌است.
– روش الکترومایوگرافی تا حدی برخی ایرادات بهینه‌سازی را کاهش داده یا برطرف کرده ‌است. از قبیل اینکه این روش ریاضی صرف نیست و بر اساس فیزیولوژیک بدن و فرمان عصبی-عضلانی مغز است و همچنین نیروی عضلات آنتاگونیست را صفر نمی‌کند.
– منتهی روش الکترومایوگرافی برای هر شخص به‌طور مجزا تفاوت دارد و حتی ممکن است برای یک شخص در تکرار فعالیتش نتایج متفاوتی بدهد. برای هر فعالیت مجزا، ضریب فعالیت فیبرهای عضلانی (α) ممکن است فرق کند، در حالیکه این ضریب را در مثال مذکور برای همه عضلات یکسان فرض کردیم. حتی تنش ماکزیمم عضلات هم یکسان فرض شد حال آنکه می‌تواند بین عضلات متفاوت باشد.
– الکترومایوگرافی مربوط به بخش فعال نیروی عضله است، در حالیکه عضله بخش غیر فعال نیز دارد که مانند خاصیت کشسانی فنر قادر به تحمل کشش است.
– روش الکترومایوگرافی نیازمند انجام تست آزمایشگاهی است که هزینه بر است و در ضمن ممکن است انجام آن برای همه عضلات درگیر در فعالیت (به‌ویژه عضلات عمقی) بسیار دشوار و پیچیده باشد.
با وجود اینکه در هر یک از روش‌های بهینه‌سازی و الکترومایوگرافی مزایا و معایبی وجود دارد، در تحلیل اسکلتی عضلانی به روش‌های نسبتاً جدید، از ترکیب دو روش مذکور استفاده می‌شود که روش مبتنی بر بهینه‌سازی با کمک الکترومایوگرافی
(EMG-Assisted Optimization-Based=EMGAO) نام دارد، منتهی توضیحات آن پیچیده و طولانی است و در این مقاله نمی‌گنجد.
تاکنون در مدل‌های توسعه یافته و پیچیده از مدلسازی اسکلتی عضلانی ستون فقرات جزئیات بیشتری لحاظ شده‌اند که از روش تحلیل EMGAO استفاده کرده‌اند. به‌عنوان نمونه هر عضله مؤثر در ستون فقرات (اعم از گلوبال، لوکال یا شکمی) به صورت چند تار عضلانی مجزا با نواحی اتصال مشخص مدل شده‌اند که رشته‌های نیرویی در جهات مختلف هستند. علاوه بر آن، خاصیت کشسانی دیسک‌های بین مهره‌ای ناحیه کمری نیز به صورت فنرهای پیچشی مدل شده ‌است. هر مهره و مرکز جرم مربوط به آن نیز در مدل لحاظ شده ‌است. شکل 6 این مدل اسکلتی عضلانی توسعه یافته را نشان می‌دهد.

شکل 6 – مدلسازی اسکلتی عضلانی توسعه یافته از ستون فقرات با لحاظ تارهای عضلانی مجزا و خاصیت فنرپیچشی در دیسک‌های بین مهره‌ای ناحیه کمری

منابع:
به دوستانی که در حوزه‌های مرتبط با بیومکانیک فعالیت می‌کنند توصیه می‌شود منابع زیر را که از جمله منابع اساسی و بنیادین بیومکانیک هستند مطالعه کنند. منتهی برای موضوع این مقاله به‌طور خاص توصیه می‌شود که حتماً کتاب «بیومکانیک ستون مهره‌ها» نوشته دکتر نوید ارجمند و حامد اسدی مطالعه شود. (این افتخار را داشتم که درس بیومکانیک ستون فقرات را زیر نظر دکتر ارجمند در دانشگاه شریف گذرانده‌ام و همواره مدیون ایشان بوده‌، هستم و خواهم بود).

منابع

-Biomechanics and motor control of human movement, David A. Winter.
-Fundamentals of biomechanics, Equilibrium, Motion, and Deformation, Nihat Ozkaya, Dawn Leger, David Goldsheyder, Margareta Nordin.
-Kinesiology of the musculoskeletal system, Foundations for Rehabilitation, Donald A. Neumann.
-Biomechanical basis of human movement, Josef Hamill, Kathleen M. Knutzen, Timothy R. Derrick.
-Basic Biomechanics, Susan J. Hall.